概念地圖・馬可夫世代模型
作者 山姆（謝冠生）・喵喵書評創辦人
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這一頁不只是把一個概念解釋一遍——一張自己畫的結構圖，加上拿台灣情境從頭走一次的實例演練、這個框架什麼時候會騙你，以及它接回 P.A.I.N. 之後長什麼樣。一頁必須交付的三層 →
馬可夫世代模型：一群人分成幾格，成本堆在原地那一格
那一批黑水虻幼蟲進場那天是四十萬隻，養殖場的白板上就一個數字：預計出料噸數。三天後再看，白板上還是那一個數字。可是這四十萬隻沒有一起往前走——有的轉了預蛹，有的還趴在原來那一盆裡，有的已經算進損耗。馬可夫世代模型做的事很單純：把一群人（或一群蟲）分成幾個狀態，替每一個狀態標上「這一個週期會往哪裡去」的機率，然後一個週期一個週期推下去。推出來的東西很具體：每一格上面各站著多少人，以及那一格這一個週期要花多少錢。
三個狀態之間，每一個週期怎麼移動
先把上面那張圖讀成一張表。三行對應三個狀態，每一行往外射出去的機率，加起來一定是 1。
| 狀態 | 留在原狀態 | 往別格走 | 停在這裡一個週期的成本 |
|---|---|---|---|
| 健康 | 0.85 | 生病 0.12、死亡 0.03 | 200 元 |
| 生病 | 0.55 | 健康 0.30、死亡 0.15 | 1500 元 |
| 死亡 | 1.00 | 走不出去（吸收態） | 0 元 |
「留在原狀態」那一欄最容易被跳過，可是帳單主要就長在那裡。一個人連續六個週期都停在健康，機率是 0.85 的六次方、約 0.38，成本是 6 個週期各 200 元、合計 1200 元；同樣連停六個週期在生病，合計 9000 元——同一段時間、同一個人頭，兩張帳單差了 7800 元。至於健康直接跳到死亡那 0.03，單看一個週期像雜訊；連推六個週期，它累出來的量就得認真算。第三行更值得看一眼：死亡那一格的「往別格走」是空的，人只會往那裡積，所以圖上要把它畫成方框，免得有人以為那裡也會流動。
哪一種事情拆成狀態才有用，先看四個地方
一、分得出來，才叫一格。一個批次養到中段，現場的人要能站在盆邊指著說「這一批現在在這一格」——靠體長、體色、活動狀態，肉眼幾秒就分完。分不出來的中間態（「快要轉了」）不該獨立成一格，那種格子的機率永遠估不準，因為連誰在裡面都認不清。格子的邊界要能被現場的人重複執行，別讓它停在會議室裡的定義。自問：我這件事，講不講得清楚「現在在哪一格」？
二、週期要跟你真的會去量的節奏對齊。翻盆、採樣、分級，現場本來就有一個固定節奏；狀態轉移的週期就設成那個節奏，機率才有東西可以估。週期設得比量測還密，中間的數字是硬編出來的；設得太鬆，一個批次會在一個週期之內連跳兩格，圖上那支箭就說謊了。自問：從一格走到下一格，有沒有一個固定的週期？
三、至少要有一格是進去就出不來的。出料現場的損耗就是那一格：算進去的回不來，也不會再變成可出料的貨。吸收態的價值在於它替你累積——它是整張圖唯一一個只進不出的帳戶，最後停在那裡的數字，就是這一批真正的損失。少了它，人會在幾格之間永遠繞圈，你永遠看不出誰真的離場了。自問：有沒有哪一格是進去就出不來的？
四、每一格要標得出停在那裡的單位成本。沒有這一欄，狀態圖就只是一張流程圖。標的時候單位要寫死：每多少頭、每一個週期、多少錢——飼料、電、人力、佔用的盆位，全部攤進去。單位一含糊，「哪一格最貴」這句話當場就有兩種答案，而且兩種都有人拿去下決定。自問：停在原地那一格，每一個週期要花多少？
一場黑水虻養殖的六個週期，走一遍
底下這家台灣中部的黑水虻養殖場，是為了把這個結構講清楚而編出來的示意情境，沒有指涉任何真實公司。它的狀態切成四格：幼蟲、預蛹、成蟲、損耗，損耗是吸收態，一個週期等於 3 天。轉移機率是幼蟲留在原地 0.60、轉預蛹 0.35、損耗 0.05；預蛹留在原地 0.50、轉成蟲 0.42、損耗 0.08；成蟲留在原地 0.95、損耗 0.05。停留成本按每十萬隻、每一個週期算：幼蟲 4200 元、預蛹 1800 元、成蟲 900 元、損耗 0。
- 週期 0（進場那天）：四十萬隻幼蟲，全部站在同一格，這一天的停留成本 16800 元。白板上那個出料噸數，這時候還沒有騙人
- 週期 1（第 3 天）：幼蟲 24 萬、預蛹 14 萬、損耗 2 萬。同一批人第一次分岔。機率表開始說話
- 週期 2（第 6 天）：幼蟲 14.4 萬、預蛹 15.4 萬、成蟲 5.88 萬、損耗 4.32 萬。成蟲第一次出現在圖上。出料那一欄終於有東西可以填
- 週期 6（第 18 天）：幼蟲 1.87 萬、預蛹 4.34 萬、成蟲 21.65 萬、損耗 12.14 萬，損耗率 121400 除以 400000 等於 30.4%。三成沒有走到終點
- 週期 6 那一天的帳：幼蟲 785 元、預蛹 781 元、成蟲 1949 元，合計 3515 元。頭數只有預蛹那一格的一半不到，帳單卻幾乎一樣厚
- 白板上那一欄：出料噸數只反映得了成蟲那 21.65 萬隻，另外三格在同一塊板子上根本沒有位置。被看見的，永遠是已經走到終點的那一群
六個週期跑完，最值得記住的接縫落在那 1.87 萬隻幼蟲身上。它們占還在場那 27.86 萬隻的 6.7%，卻吃掉週期 6 停留成本的 22.3%；而且再往下推，它們每一個週期還有 0.60 的機率繼續留在原地——那是一筆會自己續約的帳。白板上的出料噸數看不到它們，因為那個數字只計成蟲。狀態圓做的事其實很土：它逼你把「還沒走到終點的人」也排進帳裡，而且是按週期排、每一格分開排。真的要動手，第一刀通常落在把 0.60 往下壓——飼料濃度、盆內密度、翻盆的時機，每一項都直接改那個數字。以上為說明結構用的示意情境，僅供理解框架之用。
狀態轉移什麼時候會騙你
- 「下一步只跟現在的狀態有關」這個前提，常常是假的。馬可夫模型把話講得很白：一個人下一步往哪走，只看他現在在哪一格，跟他怎麼走到這裡完全無關。現場多半沒有這麼乾淨——在幼蟲那一格卡了五個週期還沒轉預蛹的那一群，往前走的機率會比昨天剛進場的低，它們體質本來就不同。真要修，做法是把「已經待了幾個週期」也做成狀態：幼蟲一期、幼蟲二期以上，各給各的機率。格子會變多、資料會變薄，但至少那支箭上的數字不再是一個被平均掉的假數。
- 吸收態未必真的出不來，機率也不會乖乖待在原地。圖上把死亡與損耗畫成吸收態，那一格確實回不去。可是很多題目照抄這個畫法就出事：流失的客戶會回來，離職的員工會回鍋，把它們畫成吸收態，等於預設回流是零。另一半的問題在機率本身——0.35 是某一批、某個溫度、某種飼料下量到的；換季換料，那個數字就得重量一次。用一組固定機率硬推六個週期，誤差是一層疊一層往上長的。
- 「最貴的那一格」有兩種讀法，講的時候一定要把單位講出來。單位成本上，幼蟲那一格最貴：每十萬隻、每一個週期 4200 元，預蛹 1800 元，成蟲 900 元。可是週期 6 的總額排法完全換了一組——幼蟲 785 元、預蛹 781 元、成蟲 1949 元，最大一筆落在成蟲，因為停在那裡的頭數最多。同一句「幼蟲最貴」，少講「每十萬隻」那個單位，聽的人就會拿去砍錯地方。開會前先把單位寫在白板上，比事後解釋省事得多。
停在原地的那一群，帳是誰在付
留在原地那一格，帳照樣每個週期記一次。
每一個週期都有一部分人沒有往前走，帳就落在他們身上——週期 6 那 1.87 萬隻幼蟲，占還在場頭數的 6.7%，吃掉那一個週期 22.3% 的停留成本。《痛點》問的第一件事是「誰在痛、痛多深」，狀態圓給的答案很直接：痛的是停在原地那一格，痛多深就寫在成本欄裡。可是這張圖畫得出每一格的人數與帳單，畫不出那些人為什麼不動——飼料配方不對、盆子太擠、還是採樣的人根本沒把他們算進來，機率 0.60 一個字都不會說。所以看到某一格的往前機率偏低，第一個動作應該是走去現場看那一盆蟲，表上的數字改不動現場。今晚就做一件事：把你手上正在跑的那件事分成三到四格，只填一欄——每一格這個月停了多少人。填完那一欄，你會知道下一個要去看的是哪一格。
常見問題
馬可夫世代模型和世代分析差在哪？
世代分析追一批人隨時間還剩幾成，畫出來是一條往下走的線；狀態模型把那條線上「還在的人」再分格，告訴你他們現在停在哪裡。兩種算法吃的是同一批資料，只是切法不同：前者回答「還剩多少」，後者回答「剩下的那些人現在在做什麼、這個月要花多少錢」。想看每一格的成本，就得先有狀態；想看整體衰減，一條留存曲線更快。多數團隊會先畫線，等到有人問「那些沒走的到底卡在哪」才回頭補格子。
轉移機率要從哪裡估？資料要多少才夠？
最省事的估法是數次數：把每一個週期的期初人數與期末去向記下來，某一格往下一格的次數除以那一格的期初人數，就是那一支機率。難的是樣本小的格子——成蟲往損耗只有 0.05，一個週期只走掉幾百隻，抽樣抽出 0.02 或 0.09 都不奇怪。做法有兩種：把好幾個週期合併起來估，或先給一個保守值撐著，等資料長出來再修。重點是把「這個數字是用幾個週期、幾隻蟲估出來的」記在旁邊，日後有人拿它下決定時才知道能信到什麼程度。
狀態要切幾格才合適？
兩個條件同時成立才值得獨立成一格：現場的人分得出來，而且分開之後成本或去向真的不同。黑水虻那四格就是這樣長出來的——幼蟲、預蛹、成蟲的停留成本各是 4200 元、1800 元、900 元，損耗則是進去就出不來。切太細，每一格的樣本都變小，機率估出來全是雜訊；切太粗，所有人被平均掉，你看不出誰卡住。三到五格通常夠用，真的要再細分，優先細分那個「停很久又很貴」的格子。
一個週期該設多長？
跟你真的會去量的頻率對齊。黑水虻那個場景設 3 天，因為翻盆與採樣就是 3 天一次；訂閱制多半設一個月，因為帳單一個月出一次。週期設得比量測還密，中間那些數字是硬編出來的，推六期只是把同一個假設重複套六次；設得太鬆，一個批次在一個週期內連跳兩格，圖上那支箭就對不上實際發生的事。先看行事曆再決定週期長度，比先決定週期再去湊資料實在。
依狀態把手上那群人分一次，數數看每個月有幾成留在原地。想先看「同一批人還剩幾成」那條線怎麼畫，可以接世代留存曲線；想看同一套分艙被拿去推疫情走勢的版本，看SEIR 傳染病分艙模型。
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