概念地圖・凱利準則
作者 山姆（謝冠生）・喵喵書評創辦人
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分類：理財
這一頁不只是把一個概念解釋一遍——一張自己畫的結構圖，加上拿台灣情境從頭走一次的實例演練、這個框架什麼時候會騙你，以及它接回 P.A.I.N. 之後長什麼樣。一頁必須交付的三層 →
凱利準則：手上有優勢，該押多少
大部分人花全部力氣在找一個好機會，然後憑感覺決定投多少。凱利準則處理的正是後面那件事：假設你確實有優勢，每次該押上手上資金的百分之幾，長期才長得最快。它的答案畫成一條曲線——押太少，成長慢；押到某個比例，長期成長率達到最高；再往上加，成長反而往下掉；越過某一點之後，即使每一次的期望值都是正的，長期的結果仍然是把自己歸零。
公式裡的兩個輸入，與四個位置
凱利準則出自貝爾實驗室的 John Kelly 在 1956 年的一篇論文，原本處理的是通訊雜訊的問題，後來被 Ed Thorp 帶進二十一點與投資，成為部位大小的經典解。它的簡單形式是：最佳投入比例等於優勢除以賠率——勝率六成、賠一賠一的賭局，最佳比例是兩成。
| 你站的位置 | 發生什麼事 | 長期成長 | 心理上的感受 |
|---|---|---|---|
| 遠低於最佳比例 | 優勢沒被用上 | 正的，但很慢 | 安穩，但常常懷疑自己在浪費機會 |
| 半凱利 | 拿到約四分之三的成長 | 接近最佳 | 波動明顯小，最能撐得久 |
| 剛好在最佳比例 | 理論上的最快 | 最高 | 回檔劇烈，多數人撐不住 |
| 超過兩倍最佳比例 | 波動吃掉複利 | 轉為負值 | 每一注看起來都划算，帳戶卻一直縮 |
套用之前，先過四個自問
這條公式的數學是乾淨的，麻煩全部集中在你餵給它的那兩個數字，以及現實與模型之間的落差。
一、你的勝率是算出來的，還是感覺出來的。公式對輸入非常敏感：把六成的勝率誤估成七成，算出來的比例會從兩成跳到四成——剛好落在長期成長歸零的位置。多數人手上根本沒有可靠的勝率，這正是實務上普遍採用半凱利的原因。自問：這個勝率背後，有幾次真實發生過的紀錄？
二、這件事會重複很多次嗎。凱利最大化的是長期的複利成長率，前提是同一種賭局會反覆出現、而且你會一直在場。一生只會做一次的決定（賣掉房子、把全部積蓄投入某件事）不在它的適用範圍——長期的平均，安慰不了只玩一次的人。自問：這種決定我未來十年還會遇到幾次？
三、你的「本金」到底指什麼。比例是相對於某個基準算的，而那個基準怎麼定義，會讓答案差好幾倍。全部淨資產、可動用的現金、扣掉六個月生活費之後的餘額——同樣是兩成，金額天差地遠。自問：我算比例的那個分母，包不包括我付不起損失的那一部分？
四、你真的可以連續下注嗎。模型假設資金可以無限分割、輸了還能繼續玩下一場。現實中有最低投入金額、有不可逆的沉沒成本、有一旦失去就回不去的信用與人脈。這些會製造出模型裡沒有的絕對歸零點。自問：這一次如果全輸，我三個月後還站得上牌桌嗎？
一個上班族要投多少進副業
凱利準則最實用的場合，是「該投入多少」這種日常決定，而非賭場。以下是一個示意情境，用來說明比例的思考方式，不構成任何投資建議。
- 先確認能不能用：凱利算的是「同一個賭局反覆玩、贏來的錢再押回去」的最佳比例。一次性的副業不符合這個前提——它不重複、不可再投入、勝率也沒有母體。所以底下這幾個數字只有一種讀法：拿凱利當一把尺，去量他原本打算押的比例有多離譜。
- 原本的想法：存款 150 萬，看好一個副業，打算投 100 萬。三分之二身家
- 先問勝率：真正做過類似的事幾次？答案是零次。勝率是猜的
- 先問賠率：成功約可翻一倍，失敗大約全損。賠率一比一
- 把尺放上去：就算真有六成勝率，可反覆下注時的最佳比例也只有兩成——30 萬。與原本差三倍
- 而且這把尺還太寬鬆：不可重複的賭局，輸了沒有下一把可以攤回來，合理的比例只會比 30 萬更低、不會更高
- 真正的改動：先用 3 萬做一次小規模測試，把一次性賭局變成可重複的小賭局。這才是讓凱利真的適用的那一步
這個人最後投入的金額，跟他原本打算的差了將近七倍。讓他改口的是那條曲線的形狀，跟風險兩個字沒什麼關係：押 100 萬（約六成七的本金）在圖上早就落到零線右邊很遠的地方——如果這是一個可以反覆玩的局，長期結果會是往下。但真正該記住的是最後一步：凱利的前提不成立時，正確的動作不是照公式算一個數字，而是先把賭局改造成公式適用的樣子。花三萬塊做一次小規模測試，同時做到兩件事——把猜出來的勝率變成量出來的，也把一次定生死的賭局拆成可以再玩一次的賭局。前提沒補起來就直接套公式，算出來的精確只是假的。以上為說明結構用的示意情境，數字僅供理解框架之用，不構成任何投資建議。
這條曲線，有三個地方會騙你
它在數學上是嚴謹的，而它的每一個假設，在真實世界裡都會漏水。
- 輸入的誤差會被放大成過度下注。曲線的左半邊很寬容：押得比最佳比例少一點，成長只掉一點點。右半邊很不寬容：押多一點，成長掉得又快又深。而人估勝率的方向幾乎總是偏樂觀。兩件事加起來，代表「照公式算出來的數字直接下注」在實務上是危險的，這也是為什麼專業使用者普遍取半凱利或更保守——它換到的是巨大的波動下降，付出的只有四分之一的理論成長。
- 它最大化的是成長率，你的睡眠不在它的考慮範圍。完整凱利的路徑非常顛簸：長期而言，資金在某個時點腰斬的機率高得驚人。數學上這沒問題，因為模型裡的玩家永遠理性、永遠在場；真實的人會在腰斬時停手，而停在低點的人，永遠拿不到那條曲線承諾的長期成長。你的實際成長率，是被你撐得住的波動決定的。
- 一次定生死的決定，根本不在它的適用範圍內。這是最常見的誤用。凱利最大化的是「反覆下注之後的長期複利成長率」，它的推導預設你會玩很多次、贏來的錢可以再押回去、投入金額可以連續調整。換工作、押身家創業、買房——這些都只會發生一次，沒有長期可言，也就沒有「長期成長率」可以最大化。把公式套上去算出一個 15 萬或 30 萬，數字看起來很精確，但那個精確是假的。這類決定該問的是「輸掉之後我還活得下去嗎」，而不是「怎樣成長最快」。真要用凱利，先想辦法把它變成可以重複的小局。
- 真實世界不是一場場獨立的賭局。公式假設每次結果獨立、賠率固定、資金可以連續分割。但市場會同時下跌、你的幾個投資可能踩到同一個風險、槓桿會被追繳、生意有固定成本燒著。當幾個部位其實是同一個賭注時，你以為自己押了兩成，實際上押了六成。用凱利之前，先確認你手上的那些注，是不是根本只是同一注。
創業最常見的死法，是第一題就押上全部
有優勢的人照樣會破產，只要他押得太大——這是凱利準則最反直覺的一句話。這句話拆掉了一個很普遍的信念——只要方向對、看得準，投入越多賺越多。曲線說的剛好相反：判斷正確只決定峰值在哪裡，而你站在峰值的左邊還是右邊，決定的是長期往上還是往下。
把這張圖擺到創業的第一年，會看到一個熟悉的畫面：辭掉工作、拿出全部積蓄、簽下一年的租約、印五千份包材——所有動作都指向同一個方向，把比例推到那條零線的右邊。而這個階段的勝率，恰好是最沒有根據的時候。還沒量過的勝率，配不上大注。P.A.I.N. 之尺的整套做法，本質上就是把第一注切小、切到你可以下很多次：先找五個人聊、先收一筆訂金、先賣一次服務，每一次都在把猜出來的勝率換成量出來的。今晚可以做的一件小事：寫下你打算投入的金額，再寫下另一個數字——賠掉之後，你還能在三個月內再來一次的金額。兩個數字之間的差距，就是你目前站在曲線上的位置。
關於凱利準則，常被問到的幾件事
凱利公式怎麼算？
最常見的形式是：最佳投入比例 f 等於（賠率 b 乘以勝率 p，減去敗率 q），再除以 b。以勝率六成、賠一賠一為例：(1×0.6−0.4)÷1＝0.2，也就是兩成。另一種好記的說法是「優勢除以賠率」。要注意 b 指的是淨賠率——押一塊贏一塊，b 等於 1；押一塊贏兩塊，b 等於 2。輸入單位搞錯是最常見的計算錯誤。
為什麼很多人只用半凱利？
因為代價與收穫極度不對稱。取一半的比例，長期成長率大約還有完整凱利的四分之三，但路徑上的波動幅度大幅下降。更重要的是它替估錯留了餘裕：當你把勝率高估了，實際的最佳比例其實比你算的低，此時押一半剛好把你推回安全的左半邊。對於勝率無法精確估計的一般情況，保守的分數凱利幾乎總是比較務實的選擇。
股票投資可以用凱利嗎？
概念上可以，實務上要非常小心，且本文不構成投資建議。困難有三：股票的報酬分布不是簡單的兩種結果，勝率與賠率都難以估計；不同持股之間高度相關，看似分散實則同一注；市場的極端尾部比模型假設的厚。實務界的用法多半是把它當成部位大小的上限提醒——尤其是那條「超過兩倍最佳比例就轉負」的警示——而非直接照算出來的數字下單。
為什麼押過頭會讓長期成長變成負的？
關鍵在複利是連乘、不是連加。虧損五成之後要回到原點，需要漲一倍。押得越大，單次下跌對本金的傷害越重，而這個傷害會壓縮之後每一次的下注基數。當比例大到某個程度，這種連乘的損耗會超過正期望值帶來的好處，於是即使每一注單獨看都划算，長期的幾何平均仍然往下。這也是「算術平均為正、幾何平均為負」這個現象最直觀的例子。
凱利跟停損、資產配置是什麼關係？
它們處理的是不同層次的問題。資產配置決定「錢分別放在哪些類別」，凱利決定「單一機會該投入多少比例」，停損決定「事情發展不如預期時什麼時候退出」。三者可以並存：先用配置設定大框架，再用凱利的邏輯避免任何單一部位大到會傷筋動骨，最後用停損處理模型之外的意外。共通的精神只有一個——先確保自己還能待在場上，成長率才有意義。
把「還能不能再來一次」當成第一原則的思考方式，安全邊際與槓鈴策略各有一套做法。至於一個把數學帶進賭場與市場、從沒押到出局的人，這篇拆書值得一讀。
這是一篇讀書與觀念的拆解、也是個人觀點，不是投資建議。作者是書評人、不是理財顧問；投資有風險、過去績效不代表未來，文中的數字與例子只為說明，請自行查證、量力而為。
同一個概念，站上還有別的講法——
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