概念地圖・獨立級聯擴散
作者 山姆（謝冠生）・喵喵書評創辦人
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分類：行為
這一頁不只是把一個概念解釋一遍——一張自己畫的結構圖，加上拿台灣情境從頭走一次的實例演練、這個框架什麼時候會騙你，以及它接回 P.A.I.N. 之後長什麼樣。一頁必須交付的三層 →
獨立級聯擴散：一次口碑傳到第幾層就自己熄掉
牆上那張「帶朋友來半價」的海報貼了三個月。前兩週很熱鬧，第三週之後，就沒有人再帶新的人進來。海報沒換、優惠沒縮水，可是傳遞這件事停住了。獨立級聯模型（Independent Cascade）畫的就是這件事的骨架：一個人被說動之後，會對他每一個還沒被找過的朋友各擲一次骰子，成功就多啟動一個人，那個人再往外擲一輪。整張網愈往外愈大，實心的點卻愈往外愈少——傳到第幾層會熄掉，由一個乘法決定。
一張機率網，波前一層一層走到哪裡
先把這張網的帳攤開來看。每個人有 4 個朋友，每條邊的啟動機率都是 0.25，種子從中央往外擲第一輪。
| 層次 | 這一層有幾個人 | 期望被啟動的人數 | 這一層實心的比例 |
|---|---|---|---|
| 種子 | 1 | 1（他自己） | 100% |
| 第 1 層 | 4 | 1.00 | 25% |
| 第 2 層 | 12 | 0.75 | 6.3% |
| 第 3 層 | 36 | 0.5625 | 1.6% |
| 第 4 層 | 108 | 0.4219 | 0.4% |
每一層的算法都一樣：上一層的期望啟動數，乘上「還沒被找過的朋友數」，再乘上啟動機率。種子那一位沒有被任何人找過，所以他的乘數是 4；從第二層起，每個人都要扣掉找他來的那一位，乘數固定是 3。0.25 乘 3 等於 0.75，小於一，於是每一層都比上一層少掉四分之一。一路加下去，含種子在內收斂到 5 個人——一顆種子，換到 4 個新朋友，就沒了。左邊那張圖畫的正是這件事：節點數 4、12、36 一路變多，實心的比例卻從 25% 掉到 1.6%。
危險的是這條線有多陡。把成功率從 0.25 抬到 0.28，一顆種子的總觸及從 5 個人變成 8 個；抬到 0.30 是 13 個；0.32 是 33 個；0.33 是 133 個。成功率只多了 8 個百分點，觸及差了二十六倍——因為總觸及的公式是 1 ＋ 4p ÷ (1 − 3p)，分母在 p 等於 1÷3、也就是 0.3333 那一點歸零。愈靠近那個點，多加一個百分點換到的人數愈瘋狂。
還有一件事值得先講：種子有幾顆，決定不了這件事的存亡。總期望觸及等於種子數乘上那個括號，種子數站在括號外面——它放大規模，改不動括號裡會不會發散。花錢找一百個人同時開口，只是把 5 變成 500；把括號裡那個乘法推過一，才是把 5 變成 133。
你的推薦活動會不會自己熄掉，兩個數字乘一次就知道
乘號兩邊各要填一個數，兩個都得從你自己的店裡撈，抄別人的產業平均值沒有意義。
一、開口之後，真的走進門的比例。球館的櫃檯很容易把「我朋友說他改天會來」記成一次成功，於是那個比例被灌得很漂亮。要拿的是另一份數字：這個月因為推薦而第一次結帳的新客人頭，除以這個月開口推薦過的會員人頭——只認到店結帳那一筆（口頭答應、加了 LINE 的都先擱著）。前者從 POS 的新客欄位撈得到，後者只能靠現場登記，難拿，但它就是乘號左邊那一格。自問：我手上這個成功率，是用真的完成交易的人頭算出來的嗎？
二、每個人手上還剩幾個沒被找過的人。球館的會員平均有 5 位常一起開桌的球友，可是其中一位就是把他找來的那個人。所以乘號右邊那一格填的是 4——扣掉來源之後剩下的人。而且這個數會隨著波前往外走而縮水，因為被找過的人不能重複算，愈往外，重複命中的機會愈高。自問：我填進去的朋友數，扣掉來源那一位、也扣掉已經被找過的人了嗎？
三、那個推薦動作，一輩子做得了幾次。「帶朋友首次半價」的券如果印成一人限用一次，發完就真的沒了，模型裡「每個人對每個朋友只擲一次」剛好對得上；如果設計成可以一直帶，同一個會員每個月都能再開口一次，實際的擴散會比算出來的拖得久，但每一次的成功率也會被朋友圈的疲乏磨低。自問：這個動作在我這裡是一次性的券，還是可以重複觸發的習慣？
順帶把一件容易混掉的事分清楚。這張圖裡的人，是被身邊每一條線各自擲一次骰子；門檻模型裡的人則是在數身邊已經動了幾個，數到夠才動。同一群會員、同一張朋友網，兩套判斷會給出完全不同的答案——擲骰子的那一套怕的是機率太低，數人頭的那一套怕的是沒人先動。至於採用曲線那種總體視角，看的又是整片市場的累積比例，連是誰傳給誰都不必知道。
一間撞球館的兩種活動設計，兩次乘法各算一次
底下這家台中的撞球館，是為了把這個結構講清楚而編出來的示意情境，沒有指涉任何真實公司。
- 先盤兩個乘數：會員 240 人，平均每人約 5 位常一起開桌的球友；扣掉把他找來的那一位，往外還沒被找過的是 4 個。乘號右邊那一格，這家店自己就填得出來
- 活動一：帶朋友首次半價：櫃檯登記了三個月，開口推薦過的會員裡，有 18% 真的把人帶到店裡結了帳。0.18 乘 4 等於 0.72。落在一的下面，第三週之後那張海報就白貼了
- 算出它會停在哪裡：第一位種子先對 5 個球友各擲一次，期望帶進 0.9 個人；之後每一層乘 0.72。一路加完是 0.9 ÷ (1 − 0.72)，等於 3.2 個新人。一個肯開口的會員，一路傳下去總共只換到三個多的人
- 活動二：兩人各得一小時免費：獎勵同時給雙方，開口的人不必再欠人情，成功率被推到 26%。0.26 乘 4 等於 1.04。越過一，波前這才推得動
- 把天花板也算進去：1.04 只保證它不會自己弱下去。240 個會員加上他們的球友圈就是這張網的全部，撐不出第二家分店的人流。越過一之後，卡住你的換成人數本身
兩次乘法，差別只在成功率那一格：0.18 與 0.26。乘出來一個 0.72、一個 1.04，一個落在一的下面、一個落在上面——差的那 8 個百分點，換來的是「會停」與「不會停」兩種命運。活動一那三個月，海報、店員、優惠幅度都到位了，卡住的是那個積本身。真正被改掉的是獎勵的方向：半價只給被帶來的人，開口的會員要拿人情去換；一小時免費兩人都拿，開口這件事就不必再欠誰。乘號左邊那一格，是被這種設計推上去的。以上為說明結構用的示意情境，僅供理解框架之用。
這張機率網什麼時候會騙你
- 朋友數只要拖著長尾，這個乘法會低估。平均 5 位球友，是把整間店拉平算出來的。真實的球館裡總有那麼三五個人，週週揪三十個人開桌。擴散的臨界值真正吃的是分布的形狀，平均值只佔它的一小半——只要人與人的朋友數差得夠開，乘出來 0.72 的活動照樣可能燒起來，因為那幾個大節點一被點著，等於同時擲了三十次骰子。所以看到「小於一」先別急著收攤，先問這條分布的右邊有沒有一條尾巴。
- 圈子重疊的時候，這個乘法會高估。模型假設每個人往外找到的都是新面孔。撞球館剛好踩在反面：常一起開桌的那五個人，多半彼此也認識。同一個新人被三條線重複找上，帳面上算成三次機會，現實裡他只會被說動一次，第二次被找還會覺得煩。圈子愈封閉、重疊愈高，實際擴散愈低於算出來的數字。兩個方向的偏誤同時存在，誰壓過誰，要看你這一行的網長什麼樣。
- 越過一，不代表傳得遍。1.04 保證的只有「波前不會自己一層比一層弱」，它保證不了規模。這張網總共 240 個會員加上他們的球友圈，走到幾百人就撞牆了——模型裡那棵無限延伸的樹，在第五、六層就開始跟自己的邊界打架。另外圖上把每條邊都標成同一個 0.25 是簡化：原始定義允許每條邊各有各的機率，而且每個人對每個鄰居只有一次機會，擲不中就永遠不再擲。
用痛點的眼光讀那個乘出來的數字
乘號兩邊，只有一邊是花錢買得到的。
右邊那一格——每個人還沒被找過的朋友數——是會員自己的人生，你改不動。你能動的只有左邊：一個人開口之後，對方真的走進門的比例。而那個比例被什麼決定？P.A.I.N. 的第一個字：誰在痛。半價券打的是被帶來的那個人的荷包，可是要開口的是會員，他付出的是人情，自己換到零。把一小時免費同時給雙方，那句話才說得出口——多給的那點錢只是外殼，真正變了的是開口這件事不再讓他欠誰。這張圖畫得出一條訊息在人與人之間衰減得多快，畫不出那句話被說出口的當下，說的人心裡在算什麼。0.18 與 0.26 在算式裡只差一個小數點後兩位，在現場差的是「我幫你介紹一下」跟「我們一起賺一小時」兩種心情。今晚就能做的：打開會員名單，圈出最近三個月真的帶過人來的那幾位，一個一個打電話問他當時是怎麼開口的。乘號左邊那一格的答案，藏在他們的原話裡。
關於口碑擴散，常被問到的幾件事
獨立級聯模型跟大家在講的病毒係數 K 值，是同一個東西嗎？
位置一樣，解析度不一樣。K 值通常寫成「每個用戶平均帶來幾個新用戶」，算法是邀請數乘上轉換率，跟這裡的「啟動機率 × 還沒被找過的朋友數」站在同一格，臨界點也同樣是 1。差別在於這張圖把它拆到人對人那一層：K 值給你一個整體平均，級聯模型讓你看得到波前走到第幾層、每一層圈上有幾個人、實心的又剩幾個。想估規模用 K 值，想知道它會在第幾週停下來，用這張網。
我根本沒在量推薦成功率，第一個月可以怎麼估？
先別追求精準，把分子分母定死就好。分母是這段期間開口推薦過的人頭：現場登記的、群組裡按過的、領走專屬連結的，一人算一次。分子是因此第一次消費的新客人頭。兩個都用「人」不用「次」，也都只認到店結帳那一筆。第一個月的數字一定難看，因為分母漏記得多；但只要量法固定下來，第二個月的變化就有意義了——你要看的是它能不能被推過 1，至於它到底是 0.18 還是 0.21，排第二順位。
乘出來超過 1，是不是就會一路傳遍全台灣？
不會。超過 1 只代表波前不會自己一層比一層弱，接下來限制它的換成兩件事：你的網總共有多少人，以及這些人的圈子重疊得多嚴重。一家 240 人的球館，就算算出 1.04，走完也還在同一批球友圈裡打轉。真實的擴散曲線會先像指數往上衝，然後在碰到邊界時折下來——那條折下來的線，就是採用曲線 S 形的上半段。這個算法只在「觸及還只佔全體一小部分」的那一段準。
我可以靠一次投放大量種子，硬把它推起來嗎？
那會放大規模，改不了它會不會熄。總觸及等於種子數乘上一個括號，種子數在括號外面，括號裡只有成功率和還沒被找過的朋友數兩個變數。同時找一百個人開口，把 5 變成 500，帳面很好看，可是每一顆種子還是各自帶到 4 個新人就停了；預算一花完，曲線回到地板。想讓它自己走下去，得回頭改括號裡那個乘法——把成功率從 0.25 推到 0.32，一顆種子就抵得上現在的六顆多。
推薦成功率乘上每個人還沒被找過的朋友數，那個積是大於一還是小於一，決定了你這檔活動是三週的熱鬧、還是一條會自己往前走的線。想看同一件事在整片市場那一層長什麼樣，可以接著讀創新與模仿兩股力量；想知道另一種完全不同的啟動條件，那份湊夠人數才動的門檻把每個人的啟動寫成了一個數字。
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