概念地圖・描述函數
作者 山姆（謝冠生）・喵喵書評創辦人
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分類：系統
這一頁不只是把一個概念解釋一遍——一張自己畫的結構圖，加上拿台灣情境從頭走一次的實例演練、這個框架什麼時候會騙你，以及它接回 P.A.I.N. 之後長什麼樣。一頁必須交付的三層 →
描述函數：振幅停在哪裡，讀兩條軌跡的交點
液位在七成上下慢慢來回，每五分鐘一趟，六個月都是這樣。沒有人報修——它從來沒有碰到警戒線。它不會越滾越大，也不會自己收斂，就停在一個固定的幅度上——控制工程叫它極限環。會不會震起來，線性那套算得出來；震起來之後停在多大，那要換一張圖。描述函數把迴路裡的非線性元件換算成一條隨振幅移動的軌跡，畫進系統頻率響應的同一張複平面，兩條線交在哪裡，擺幅與週期就同時讀得出來。
兩條軌跡交會的那一點，讀得出什麼
先把圖上的元素一個一個拆開，再看它們交會的那一刻。
| 圖上的元素 | 它在畫什麼 | 交點標出來就知道 |
|---|---|---|
| 金色軌跡 | 線性部分在各個頻率下的增益與相位，從右側掃過第四、第三象限 | 交點落在哪個頻率，由這條線決定 |
| 朱紅粗線 | 非線性元件的等效增益倒數取負號，從 −1 起往左延伸，振幅愈大愈往左 | 交點對到線上哪一格刻度，那格就是振幅 |
| −1 這個點 | 振幅趨近零時的起點：閥還沒被推到限幅，等效增益等於一 | 它是整條粗線的頭，往左才有東西可讀 |
| 交點 | 兩條線同時被滿足的那一組振幅與頻率 | 擺幅多大、週期多長，一次讀完 |
| 沒有交點 | 兩條線在複平面上擦身而過 | 這組參數下找不到等幅擺動，要另外判會不會發散 |
| 多個交點 | 兩條線交在不只一處 | 要逐個判斷哪一個會被擾動推回來、哪一個會被推走 |
這張表最容易被略過的一行，是第一列與第二列的分工。頻率由金色那條定下來——它畫的是線性部分，跟訊號多大無關；振幅由朱紅那條定下來——它畫的是非線性元件被推到多深。所以現場收緊限幅、換一顆閥，交點還是落在原來那個頻率上，只有讀到的振幅會變。想改週期，得回頭動增益、動積分時間、動迴路裡的延遲。
會不會停在一個固定幅度，看三個條件
一、這個擺動是穩住，還是正在放大。同樣是液位在動，該去動的地方在迴路的兩端。翻三個月的趨勢圖，量每一趟的峰對峰：一直落在 6.5 個百分點附近，那是極限環，接下來該去找飽和長在哪一節；一趟比一趟高，那是發散，要動的是增益與相位，跟這張圖沒有關係。麻煩的是只看一天的曲線，兩者長得幾乎一樣——十二趟裡差個零點幾個百分點，肉眼分不出來，得把時間軸拉長才看得出趨勢。自問：這個來回，每一趟的幅度都差不多，還是一趟比一趟大？
二、系統會不會把高頻濾掉。描述函數整套算法只保留基頻。閥門被推到限幅時吐出來的接近方波，裡面藏著三倍頻、五倍頻的成分——儲槽本身是個大水缸，那些快成分繞一圈就被磨平了，回到量測端只剩最慢的那一份。這一條成立，交點才算得準。同一支公式搬去算一個容積小、反應快的段別，高次諧波原封不動繞回來疊在基頻上，交點讀出來的數字就只能當參考。自問：把一個方波送進這個系統，出來的東西還看得出方波的稜角嗎？
三、非線性長在哪一節。同一條迴路上常常有好幾處非線性，這座儲槽的主角是控制閥的行程飽和：指令再大，閥也只開得到那個限幅。它的軌跡從 −1 起往左走，愈往左代表振幅愈大。另外兩種常見的長相走的是別的方向——死區的軌跡從很左邊往 −1 靠，遲滯的軌跡整條離開實軸、掛到下半平面去。先認出手上是哪一種，才知道要往哪個方向讀那條線。自問：訊號從指令走到執行的那一路上，哪一段的輸出跟不上輸入？
一座儲槽的液位控制，走一遍
底下這座台灣中部廠區裡的儲槽，是為了把這個結構講清楚而編出來的示意情境，沒有指涉任何真實公司。
- 先量現況：液位在 70% 上下來回，擺幅正負 6.5 個百分點，一趟大約 5 分鐘。幅度六個月沒變過，這就是極限環的長相
- 找出非線性：控制閥有行程飽和，指令再大，閥也只開得到正負 2.0 個百分點。幅度是這個限幅定下來的，PID 那三個參數管不到
- 畫兩條線：系統頻率響應那條從右側掃過來，隨振幅變化的那條從 −1 往左延伸，兩條線交在負實軸上。交點頻率約 0.021 弧度／秒，換算週期 299 秒
- 讀交點：那一點對到的振幅刻度正好是 6.5 個百分點，跟趨勢圖上量到的對得上。算出來的跟現場量的落在同一格
- 動一個參數：把閥的行程限幅從正負 2.0 收到正負 0.8 個百分點，整條粗線上的振幅刻度跟著往左挪，交點讀到的擺幅降到正負 2.6 個百分點。限幅收成原來的 0.4 倍，擺幅跟著變成原來的 0.4 倍
- 回頭看週期：金色那條穿過負實軸的位置一動也沒動，週期還是約 299 秒。換非線性只換得到振幅
- 再看警戒線：警戒線設在 60% 與 80%，擺幅 6.5 個百分點從來沒有碰到。警戒線一次都沒響，閥門已經來回了五萬多趟
這一輪真正被動到的只有一個數字：閥的行程限幅，從正負 2.0 收到正負 0.8。擺幅跟著從 6.5 掉到 2.6，週期一動也不動，還是 299 秒。這就是這張圖的分工——交點落在哪個頻率，是線性部分定下來的；交點對到哪一格振幅，才是那個非線性說了算。真正值得記住的接縫在最後一項：六個月沒有人報修，是因為 6.5 個百分點離 60% 與 80% 的警戒線還有一段距離。這半年報表上一片安靜，閥門的行程卻已經累積了五萬多趟來回，那是實實在在磨在閥座上的次數。以上為說明結構用的示意情境，僅供理解框架之用。
這個近似什麼時候會騙你
- 它是一種近似法，整套推導只留下基頻。描述函數把非線性元件吐出來的訊號做傅立葉展開，只取第一項，假設後面的高次諧波在繞迴路一圈的過程中被磨掉。這個假設在大水缸、慢迴路上通常成立；在頻寬寬、共振點多的機構上就不一定。前提站不住的時候，交點讀出來的振幅只能當參考值，實測跟它差上兩三成都不奇怪。比較穩的用法是拿它決定「往哪個方向調」，再靠現場的量測收斂到最後那個數字。
- 它回答的是穩下來以後的樣子，路上的事一概不談。交點給你振幅與頻率，這兩個都是穩態的描述。從開機到擺動長成那個幅度要花多久、一個突然的進料變化會不會把系統踢出這個環、踢出去以後會跑到哪裡——這三個問題都在這張圖的視野之外，要回答得靠時域模擬或現場實驗。所以拿它做交接說明時記得補一句：這是最後會停下來的幅度，路上花多久另計。
- 兩條線可能交在不只一個點，而且方向讀反會整個顛倒。多個交點時要逐個判斷穩定性：擾動讓振幅變大以後，如果工作點被推回原處，那是穩定的極限環；如果被推得更遠，那個交點只是一道門檻，跨過去就發散。判準跟非線性的種類綁在一起——飽和的軌跡從 −1 往左延伸，交點通常是穩定的；死區的軌跡走的是相反方向，它的交點是不穩定的。把死區那一種當成飽和來讀，結論會整個反過來。
一直在動的那個系統，誰在旁邊守著
這張圖的起手式，是先承認那個擺動不會消失。
控制工程師拿它算限幅，算完把擺幅壓到 2.6 個百分點，工單就結案了。可是回到《痛點》那一套 P.A.I.N. 的問法，第一個要問的永遠是誰在痛。這張圖畫得出擺幅有多大，畫不出這個幅度正壓在誰的班表上——可能是每天早上要手抄液位的操作員，可能是被擺動吃掉良率的下游站別，也可能根本沒有人在意，只有稽核報表上多一行紅字。六個月沒有人報修，這件事在圖上完全沒有位置，可是它決定了這條迴路值不值得動。做生意的迴路也一樣：庫存週期性地漲跌、排班每兩週鬆一次緊一次、客訴量固定在某個幅度來回，你都能畫出一張形狀很像的圖，交點也都讀得出來。決定要不要動手的，是那個幅度落在誰的身上。今晚可以做的：翻出手上任何一條會週期性來回的線，抄下最近三個月的擺幅，然後在旁邊寫一個人名——承受這個幅度的那個人。
關於描述函數，常被問到的幾件事
描述函數跟奈奎斯特準則是什麼關係？
奈奎斯特準則處理線性系統：畫出頻率響應軌跡，看它怎麼繞 −1 這個點，判斷閉迴路穩不穩。描述函數把那個 −1 換成一整條線——非線性元件的等效增益會隨訊號振幅改變，那個臨界點於是沿著負實軸滑動，不再釘在一個位置上。所以兩張圖長得幾乎一樣，讀法也一樣，差別在判斷基準從一個點變成一條軌跡，而軌跡上的每一格都對應一個振幅。多出來的那個維度，正是它能算出擺幅的原因。
為什麼收緊限幅之後，週期幾乎不會變？
因為交點的頻率被線性部分鎖住了。飽和、死區這類典型的非線性，換算出來的軌跡都落在負實軸上，而負實軸只被頻率響應軌跡穿過那麼一次——那個穿越點的頻率是固定的，不管軌跡上標的振幅刻度怎麼挪，交點還是落在同一個位置。所以收緊限幅只換得到更小的擺幅，週期照舊。想改週期就得回頭動增益、動積分時間、動迴路裡的延遲，那些才是決定穿越點在哪的東西。
描述函數算出來的振幅，跟現場量到的會差多少？
看系統濾波濾得乾不乾淨。慢迴路、大慣量的對象——像儲槽液位、大型爐溫——高次諧波繞不回來，交點算出來的振幅通常跟實測落在一成以內。頻寬寬、機構共振點多的伺服迴路就散得多，差上兩三成是常態，偶爾還會出現圖上標了交點、現場卻一片安靜的情況。所以這個數字的定位是量級與方向：拿它判斷「限幅收一半，擺幅大概也掉一半」很可靠；拿它去對規格書上的小數點就會失望。
兩條線沒有交點，就代表系統一定不會震嗎？
只代表在這個模型與這組參數下，找不到能同時滿足兩條線的振幅與頻率，也就是沒有這種等幅擺動。可是有三件事會讓「沒有交點」變成假的安心：模型漏掉了某一段非線性、參數在現場已經被人調過、或者實際振幅大到超出你畫的那段軌跡範圍。實務上的做法是把限幅、增益這些會變的東西各掃一遍，看兩條線會不會在某個組合下碰到。真正的風險藏在你沒掃到的那個組合裡。
擺幅收不收得住，要看那兩條線交在哪裡。這張圖接手的地方是震盪已經起來了；至於它一開始為什麼會起來、延遲在裡面扮演什麼角色，那是回饋延遲那一張在畫的事。而同一個輸入往上走跟往下走會落在兩條不同的路上，那個結構在遲滯迴圈那一張看得最清楚——它算的是那條路怎麼走，這一張算的是那個來回最後停在多大。
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